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오일러 공식과 오일러 항등식 증명 (Proof of Euler's formula and Euler's identity)

Aug. 31, 2021   /   4 mins read   /  

레온하르트 오일러 (Leonhard Euler)

오일러는 18세기의 가장 유명한 수학자로써, 오늘날에도 널리 쓰이는 다양한 업적들을 남겼습니다.

그의 여러 업적중에서, 오일러 공식(Euler's formula, 식 (1))과 오일러 항등식(Euler's identity, 식 (2))으로 알려져 있는 아래 두 식을 증명해보겠습니다. 실수를 정의역으로 갖는 $$x$$에 대해(for $$x \in \Re$$), 다음과 같은 식이 성립합니다.

$$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\tag{1}$$$ $$$e^{i\pi}+1=0\tag{2}$$$

오일러 공식의 증명

오일러 항등식을 구하려면, 우선 오일러 공식을 증명해야합니다. 오일러 공식을 증명하는 것은 맥클로린 급수 전개 또는 적분을 이용한 방법 등 다양한 방식이[1] 있지만, 이 포스팅에서는 미분을 이용한 비교적 간단한 방법을 통해 증명하겠습니다. 우선 식 (1)을 임의의 함수 $$f(x)$$로 표현하면 식 (3)과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$$f(x)=\cos{x}+i\sin{x}\tag{3}$$$

위 식을 $$x$$에 대해 미분하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$$f'(x)=-\sin{x}+i\cos{x}\tag{4}$$$

식 (4)의 양변에 복소수 $$i$$를 곱하고 정리하면 다음과 같은 결과들을 얻을 수 있습니다.

\begin{align}if'(x)&=-i\sin{x}-\cos{x}\\ &= -(\cos{x}+i\sin{x})\tag{5}\end{align}

얻어진 식 (5)과 식(3)을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있고, 정리하면 식 (6)처럼 표현할 수 있습니다.

\begin{align}if'(x)&=-f(x)\\ (-i)\times(if'(x))&=(-i)\times(-f(x))\\f'(x)&=if(x)\tag{6}\end{align}

지수함수의 미분형태 응용

지수함수 $$e^{ax}$$ 를 $$x$$에 대해 미분한 형태는 $$ae^{ax}$$ 임을 이용하면, 식 (6)을 통해 우리는 최종적으로 $$f(x)$$가 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$$$f'(x)=ie^{ix}=if(x)\tag{7}$$$ $$$f(x)=e^{ix}\tag{8}$$$

따라서, 우리가 임의로 가정했던 $$f(x)$$는 $$e^{ix}$$ 이며, 식 (3)에 대입하면 최종적으로 오일러 공식인 식 (1)이 도출되게 됩니다.

$$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\tag{1}$$$



오일러 항등식의 증명

앞서 구한 오일러 공식을 이용하면, 오일러 항등식도 쉽게 도출할 수 있습니다. 우리는 오일러 공식의 미지수 $$x$$에 $$\pi$$를 대입하여 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\tag{1}$$$ $$$e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}\tag{9}$$$

삼각함수의 정의 활용

이때, 삼각함수의 정의에 의해 $$\cos{\pi}=-1$$, $$\sin{\pi}=0$$ 이므로 식 (9)는 다음과 같이 정리할 수 있으며, 최종적으로 오일러의 항등식이 도출됩니다.

$$$e^{i\pi}=-1+i\times 0 \tag{10}$$$ $$$e^{i\pi}+1=0\tag{2}$$$

오늘은 미분을 활용하여 오일러의 공식과 오일러의 항등식을 증명해보였습니다. 궁금한 점이나, 본문 내용에서 틀린 부분 있다면 댓글 남겨주세요. 지금까지 읽어주셔서 감사합니다. 😀